Derivation of the Inverse Tangent Function's Integration Transformation

Answer 1

反正切函数的积分可以通过分部积分法来推导。

设\(y = \arctan x\)，\(dy=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)。

根据分部积分公式\(\int u dv=uv-\int v du\)，对于\(\int\arctan xdx\)，令\(u = \arctan x\)，\(dv=dx\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)，\(v=x\)。

所以\(\int\arctan xdx=x\arctan x-\int\frac{x}{1 + x^{2}}dx\)。

对于\(\int\frac{x}{1 + x^{2}}dx\)，令\(t = 1 + x^{2}\)，\(dt = 2xdx\)，则\(\int\frac{x}{1 + x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln|t|+C=\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+C\)。

综上，\(\int\arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})+C\)。
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