University Higher Mathematics Trigonometrigram Image Questions and Answer

Answer 1

以下为一些大学高数中三角函数图象相关的题目及答案示例：

**一、图象变换类题目**
1. **题目**
- 将函数\(y = \sin(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{4})\)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移\(\frac{\pi}{4}\)个单位，求所得到的图象解析式。
2. **答案**
- 首先，对于函数\(y = \sin(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{4})\)，横坐标伸长到原来的2倍（即\(x\)的系数变为原来的\(\frac{1}{2}\)），得到\(y=\sin(\frac{\pi}{4}x+\frac{\pi}{4})\)。
- 然后再向右平移\(\frac{\pi}{4}\)个单位，根据“左加右减”原则，\(x\)变为\(x-\frac{\pi}{4}\)，得到\(y = \sin[\frac{\pi}{4}(x - \frac{\pi}{4})+\frac{\pi}{4}]=\sin(\frac{\pi}{4}x-\frac{\pi^{2}}{16}+\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4}x+\frac{(4 - \pi)\pi}{16})\)。

**二、根据图象求函数表达式类题目**
1. **题目**
- 已知三角函数图象的最大值是\(\frac{3}{2}\)，从\(-\frac{\pi}{6}\)到\(\frac{5\pi}{6}\)是一个周期，图象为\(y = A\sin(\omega x+\varphi)\)（\(A>0,\omega>0\)且\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)）的形式，求函数表达式。
2. **答案**
- 因为最大值是\(\frac{3}{2}\)，所以\(A=\frac{3}{2}\)。
- 周期\(T=\frac{5\pi}{6}-(-\frac{\pi}{6})=\pi\)，又因为\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)且\(\omega>0\)，所以\(\omega = 2\)，此时函数为\(y=\frac{3}{2}\sin(2x+\varphi)\)。
- 当\(x = -\frac{\pi}{6}\)时，\(y = 0\)，即\(\frac{3}{2}\sin(-\frac{\pi}{3}+\varphi)=0\)，也就是\(\sin(-\frac{\pi}{3}+\varphi)=0\)，\(-\frac{\pi}{3}+\varphi = k\pi\)（\(k\in Z\)），\(\varphi=k\pi+\frac{\pi}{3}\)。
- 由于\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)，当\(k = 0\)时，\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)，所以函数表达式为\(y=\frac{3}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。

**三、图象对称轴与对称中心类题目**
1. **题目**
- 函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象的对称轴和对称中心分别是什么？
2. **答案**
- 对于函数\(y = \sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in Z\)），解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in Z\)），所以其对称轴方程为\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in Z\)）。
- 令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\)（\(k\in Z\)），解得\(x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\)（\(k\in Z\)），所以其对称中心为\((\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6},0)\)（\(k\in Z\)）。
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