11

Fiziksel teoride çok fazla ele alınmamasına rağmen, fiziksel dünyanın davranışının altında yatan matematikle bir ilgisi olduğu için seçim aksiyomundan söz edeceğim.

Şu an için bu konu hakkında fazla endişelenmemek yerinde olacaktır. Eğer seçim aksiyomu, su götürmez bir akıl yürütmenin uygun bir biçimiyle şu ya da bu şekilde çözülebilirse, o zaman onun doğruluğu gerçekten de tamamen bir meseledir ve ya Platoncu dünyaya aittir.

Öte yandan seçim aksiyomu yalnızca bir fikir veya keyfi bir karar meselesiyse, o zaman Platoncu mutlak matematiksel formlar dünyası ne seçim aksiyomunu ne de onun olumsuzlanmasını içerir.

Platon'un dünyasına ait olabilecek iddialar kesinlikle doğru olanlardır.

Aslında, matematiksel nesnelliği gerçekten Platonculuğun neyle ilgili olduğu olarak görürdüm.

İddianın bir varlığı olduğunu söylemek, onun nesnel anlamda doğru olduğunu söylemekten başka bir şey değildir.

Benzer bir yorum, örneğin 3 sayısı kavramı veya tam sayıların çarpımı kuralı veya bir kümenin sonsuz sayıda öğe içerdiği fikri gibi - hepsi nesnel kavramlar oldukları için Platoncu bir varlığa sahip olan kavramlar için de geçerlidir. Benim düşünce tarzıma göre Platoncu varoluş basitçe bir nesnellik meselesidir ve buna göre bazı insanların bu şekilde görmesine rağmen kesinlikle mistik bir şey olarak görülmemelidir.

Bununla birlikte, seçim aksiyomunda olduğu gibi, bir varlık için bazı önerilerin nesnel bir varlığa sahip olarak kabul edilip edilmeyeceğine ilişkin sorular hassas ve bazen teknik olabilir.

Buna rağmen, kavramların genel sağlamlığını takdir etmek için kesinlikle matematikçi olmamıza gerek yok. Mandelbrot kümesini oluşturmak için bir kompleks sayının önce karesini alıp sonra sabit bir sayıyı ekleyerek yeni sayıyı düzlemde işaretlemeye gerek yok demek istedim.

Mandelbrot kümesi olağanüstü bir yapıya sahiptir, ancak herhangi bir insan tasarımı değildir. Dikkat çekici bir şekilde bu yapı bir basitlik kuralıyla tanımlanır.

Belirtmek istediğim nokta, setin ince detaylarındaki inanılmaz komplikasyonları ilk gördüğünde Mandelbrot'un kendisi bile setin olağanüstü zenginliği hakkında gerçek bir ön yargıya sahip olmadığıdır.

Mandelbrot seti kesinlikle herhangi bir insan zihninin icadı değildi.

Küme, matematiğin kendisinde nesnel olarak oradadır.

Kümeye fiili bir varlık atfetmenin anlamı varsa, o varlık bizim zihnimizde değildir, çünkü hiç kimse kümenin sonsuz çeşitliliğini ve sınırsız karmaşıklığını tam olarak kavrayamaz. Varlığı, en iyi ihtimalle bu çıktıların, setin kendisine bir yaklaşıklığın gölgesinden başka bir şey olmadığı için, inanılmaz karmaşıklığının ve ayrıntısının bir kısmını yakalamaya başlayan çok sayıda bilgisayar çıktısında da yatamaz.

Yine de şüphe götürmeyen bir sağlamlığı var; çünkü aynı yapı -onu inceleyen bilgisayardan bağımsız olarak- ne kadar yakından incelenirse, tüm algılanabilir ayrıntılarında o kadar büyük bir inceliğe kadar ortaya çıkar.

Varlığı ancak Platonik formlar dünyasında olabilir.

Sakın gene felsefe yapmaya başlama dediğinizi duyar gibiyim!

Yapılara herhangi bir tür aktüel varoluş atfetmekte güçlük çeken pek çok okuyucu olacağının farkındayım.

Bu tür okuyuculardan ricada bulunayım, onlar sadece varoluş teriminin onlar için ne anlama gelebileceğine dair kavramlarını genişletsinler.

Platon'un dünyasının biçimlerinin, tablolar gibi sıradan nesnelerle aynı türden bir varoluşa sahip olmadığı açıktır.

Mekânsal konumları yoktur; ne de zaman içinde var olurlar.

Nesnel kavramlar zamansız varlıklar olarak düşünülmeli ve ilk insan tarafından algılandıkları anda var oldukları varsayılmamalıdır.

Gösterilen setin belirli girdapları, bilgisayar ekranında ilk görüldükleri anda varlıklarını kazanmamışlardır.

Setin arkasındaki genel fikir ilk kez insanca ortaya konduğunda da ortaya çıkmadı.

Dolayısıyla matematiksel varoluş, yalnızca fiziksel varoluştan değil, aynı zamanda zihinsel algılarımız tarafından atanan bir varoluştan da farklıdır. Yine de, üç ayrı dünyaya ait varlıklar olarak diğer iki varoluş biçiminin -fiziksel, zihinsel ve Platonik- her biri ile derin bir bağlantı vardır.

Platonik dünyayı fiziksel dünyayla ilişkilendiren bu gizemlerin ilkiyle ilgili olarak, matematik dünyasının yalnızca küçük bir bölümünün fiziksel dünyanın işleyişiyle ilgili olmasına izin veriyorum.

Beklenmedik önemli uygulamalara sık sık şaşırmamıza rağmen, günümüzde saf matematikçilerin faaliyetlerinin büyük çoğunluğunun fizikle veya başka herhangi bir bilimle açık bir bağlantısı olmadığı kesindir.

Aynı şekilde, zihniyetin belirli fiziksel yapılarla birlikte ortaya çıktığı ikinci gizemle ilgilidir. Fiziksel yapıların çoğunluğunun zihniyeti tanıtması gerektiğinde ısrar etmiyorum. Bir kedinin beyni gerçekten zihinsel nitelikleri uyandırabilirken, ben aynı şeyi bir kaya için söyleyemiyorum. Son olarak, üçüncü gizem için, zihinsel faaliyetimizin yalnızca küçük bir bölümünün ilgilenmesi gerektiğinin apaçık olduğunu düşünüyorum.

mutlak matematiksel gerçek! (günlük hayatımızı dolduran çok çeşitli rahatsızlıklar, zevkler, endişeler, heyecanlar ve benzerleriyle daha çok ilgileniyoruz) Bu üç gerçek, alınan her bir dünya ile bir sonraki dünya arasındaki bağlantının temelinin küçüklüğünde temsil edilir. Fiziksel evrendeki her şey, tamamen kesin ayrıntılarla matematiksel ilkeler tarafından yönetilir - belki de öğreneceğimiz gibi denklemler veya belki de bugün denklemler terimiyle adlandıracağımız olanlardan temelde farklı olan bazı gelecekteki kavramlar tarafından yönetilir.

Eğer bu doğruysa, o zaman kendi eylemlerimiz bile, kontrolün katı ilkeler tarafından yönetilen bazı rastgele davranışlara hala izin verebileceği bir kontrole tamamen tabi olacaktır.

Kuantum mekaniği, bunun gibi biraz sessiz görünen bir şey yapar, ancak matematiksel olarak o kadar da anlaşılır değildir. Aslında çılgınca görünüyor!

Yine de bu tuhaf kuantum-mekanik prosedürde şüphesiz bir zarafet vardır. Kuantum mekaniğinde sadece böyle bir simetriyle ilişkili korunan bir momentum yoktur, aynı zamanda momentumun kendisi de aslında o belirli simetriyi üreten operatörle tanımlanır!

Bir momentum bir operatörle nasıl tanımlanabilir?

Bu gerçekten çılgınca geliyor! Daha doğru olmak gerekirse, bir h faktörü ve ayrıca dahil edilecek hayali birim i vardır. Bununla birlikte, pozisyon ve momentum ile ilgili kanonik bir komütasyon kuralı olarak adlandırılan bir komütasyon yasasına yönlendiriliyoruz.

Bu çılgın görünümlü operatör momentumu ile ne yapacağız? Bu kuantum mekanik momentumun rolü, eski klasik momentum p'nin olduğu yerde, hamilton fonksiyonuna yerleştirmektir.

Bu, henüz göreliliğin anahtarıdır, dolayısıyla yukarıda ele alınan momentum gerçekten de enerji değil uzaysal momentum olacaktır. Uzayımız muhtemelen 3 boyutludan çok daha büyüktür, çünkü çok sayıda parçacık veya başka yapılar söz konusu olabilir ve tüm bu farklı konum ve momentum bileşenleri listede yer alacaktır.

Özellikle tek bir parçacık için, zaman bileşeni t ile uzamsal bileşenleri x, y ve z arasında belirgin bir göreli simetri olduğu ortaya çıkıyor.

Bunun kuantum mekaniğinin gerçek zaman evrimini tanımlamada nasıl önemli bir rol oynadığını birazdan göreceğiz. Bununla birlikte, birçok parçacık dahil olduğu için, fiziğin uzaysal ve zamansal yönlerinin tedavilerinin çok farklı olduğu göreli olmayan bir prosedür sağlarlar.

Koordinat seçiminin genelliği ile ilgili bir konu var. konfigürasyon uzayındaki genelleştirilmiş koordinatları seçmemizde tam bir özgürlüğe izin verildiğini hatırlayın.

Şunu sorabiliriz: Kuantum teorisine geçtiğimizde bu tam özgürlüğe hâlâ izin veriliyor mu? Aslında, klasik eşlenik momentumun basitçe nicelleştirilmesini bekliyorsak, cevap hayırdır. Konu çok hassas ve bizi geometrik niceleme olarak bilinen büyüleyici alana götürüyor. İster yerçekimi alanını nicelleştirmeyi, ister yalnızca eğri bir uzay-zaman arka planında kuantum alanlarını tartışmayı öneriyor olun, genel görelilik ile ilgili olarak özel bir önemi vardır. Bununla birlikte, uygun şekilde dikkatli olduğumuz sürece, düz olanlardan daha genel olan koordinatlardan kurtulabileceğimiz birçok standart durum vardır. Özellikle açısal koordinatların kullanılması yararlıdır ve bu durumda eşlenik momentumlar açısal momentlerdir.

Şimdilik bu faktör sıralaması ve genelleştirilmiş koordinat konularını göz ardı edelim ve tatmin olduğumuz bir kuantum mekanik Hamiltoniyenimiz olduğunu varsayalım. Onu ne işe yararız? Cevap, bir kuantum sisteminin schrödinger denklemi olarak bilinen zamanla nasıl geliştiğini anlamamız için temel olan bu denklemde çok önemli bir rol oynamasıdır. Aslında bu denklemin biçimi, yukarıda belirtilen kurallar tarafından fiilen zaten belirlenmiştir. Bu nasıl çalışır ? ilk etapta görünmez f'yi ortaya çıkarmalıyız.

Pek çok insan bu tür çekişmelerden rahatsız oluyor ve ben de bu konuda biraz rahatsız olduğumu itiraf etmeliyim. Bununla birlikte, kişisel önyargılarım, gerçekten de bu genel nitelikteki bir bakış açısını desteklemektir, çünkü kontrol altındaki fiziksel eylemleri onun ötesinde olabileceklerden ayırmak için herhangi bir çizginin nasıl çizilebileceğini görmek zordur.

Mandelbrot setinde, bu tür şeylerin doğasında var olan kapsamı ve güzelliği bir an için yakalamaya başlayabiliriz. Geometri konusunu ele alalım. Geçen bölümde ima edilen farklı geometri türleri gerçekten nelerdir? Bu konuyu ele almak için Pisagor'la karşılaşmamıza geri döneceğiz ve onun adını taşıyan teoremi ele alacağız: Herhangi bir dik açılı üçgen için hipotenüsün uzunluğunun karesi, diğer kenarların uzunluğunun karelerinin toplamına eşittir.

Öklid geometri kavramını oluştururken, kanıtlarının hangi varsayımlara dayandığını görmeye büyük özen gösterdi. Özellikle, geçerliliği daha az kesin görünen, ancak dünyamızın geometrisi için doğru gibi görünen varsayımlar olan aksiyom adı verilen belirli iddiaları ayırt etmekte dikkatliydi.

Bu varsayımlardan beşinci postüla olarak adlandırılan sonuncusunun diğerlerinden daha az aşikar olduğu düşünüldü ve daha açık olan diğer postülalardan bunu kanıtlamanın bir yolunun bulunması gerektiği yüzyıllar boyunca hissedildi.

Öklid'in beşinci postülasına genellikle paralel postüla denir. Öklid'in temel olarak formüle ettiği gibi, bu varsayım, bir düzlemdeki iki düz çizgi parçası a ve b'nin her ikisi de başka bir c çizgisiyle kesişiyorsa, c'nin aynı tarafındaki iç açıların toplamı iki dik açıdan küçük olacak şekilde, a ve b olduğunda c'nin o tarafında yeterince uzatıldığında bir yerde kesişecektir.

İlkenin başarıyla uygulandığı matematikte birçok örnek vardır. Bunların en ünlülerinden biri Pisagorlulara kadar uzanır ve onları çok rahatsız eden bir sorunu çözmüştür.

Karesi 2 olan bir rasyonel sayı bulunabilir mi?

Cevap hayır çıkıyor ve birazdan göstereceğim iddia aslında böyle bir rasyonel sayının olmadığıdır.

Pisagorcular bu keşiften neden bu kadar rahatsız oldular? Bir kesrin, sıfır olmayan iki a ve b tamsayısının a/b oranı olarak ifade edilebilecek bir şey olduğunu hatırlayın.

Başlangıçta tüm geometrilerinin rasyonel sayılarla ölçülebilen uzunluklar cinsinden ifade edilebileceğini ummuşlardı.

Rasyonel sayılar, basit sonlu terimlerle tanımlanabilen ve anlaşılabilen oldukça basit niceliklerdir; yine de istediğimiz kadar küçük veya istediğimiz kadar büyük mesafeleri belirtmek için kullanılabilirler.

Tüm geometri rasyonel sayılarla yapılabilseydi, bu işleri nispeten basitleştirirdi. İrrasyonel sayı kavramı ise sonsuz süreçler gerektirir ve bu, eskiler için önemli zorluklar yaratmıştır.

Fikir zaman zaman yeniden canlandırılsa da, bu tür şeylerin fizikte gerçekten önemli bir rolü olup olmadığı belirsizdir. Bana göre, absürt derecede muazzam bir asal sayıya dayanan bir fiziksel teori, basit bir sonsuzluk kavramına dayanabilen bir teoriden çok daha karmaşık bir teori olurdu.

Yine de, bu konuların peşine düşmek biraz ilgi çekicidir. Koordinatlar F elemanları olarak verildiğinde, geometrinin çoğu aslında hayatta kalır.

Kalkülüsün fikirleri daha fazla özen gerektirir; yine de bunların çoğu hayatta kalır.