How to calculate the diagonal matrix corresponding to the characteristic matrix

Answer 1

假设\(n×n\)矩阵\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量，如果这些向量是矩阵\(S\)的列，那么\(S^{-1}AS\)是一个对角矩阵\(\Lambda\)，\(A\)的特征值在\(\Lambda\)的对角线上，即\(S^{-1}AS = \Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&\;&\;\\\;&\lambda_2&\;\\\;&\;&\ddots\\\;&\;&\;&\lambda_n\end{pmatrix}\)。

计算过程如下：将特征向量\(x_i\)放在\(S\)的列上，按列计算\(AS\)可得\(AS = A\begin{pmatrix}|&|&\cdots&|\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\|&|&\cdots&|\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}|&|&\cdots&|\\\lambda_1x_1&\lambda_2x_2&\cdots&\lambda_nx_n\\|&|&\cdots&|\end{pmatrix}\)，然后将最后一个矩阵分成两个矩阵的乘积\(S\Lambda\)，即\(\begin{pmatrix}\lambda_1x_1&\lambda_2x_2&\cdots&\lambda_nx_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}|&|&\cdots&|\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\|&|&\cdots&|\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1&\;&\;\\\;&\lambda_2&\;\\\;&\;&\ddots\\\;&\;&\;&\lambda_n\end{pmatrix}\)，所以\(AS = S\Lambda\)，进而\(S^{-1}AS=\Lambda\)，其中\(S\)是可逆的，因为假设它的列（特征向量）是无关的。
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