What are the mathematical formulas needed to study quantum mechanics in college?

Answer 1

以下是一些大学量子力学学习中常用的数学公式：
1. **积分公式**：
- $\int x^{n}e^{ax}dx=\frac{x^{n}e^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n - 1}e^{ax}dx(n\gt0)$
- $\int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^{2}+b^{2}}$
- $\int e^{ax}\cos ax dx=\frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^{2}+b^{2}}$
- $\int x\sin ax dx=\frac{1}{a^{2}}\sin ax-\frac{x}{a}\cos ax$
- $\int x^{2}\sin ax dx=\frac{2}{a^{2}}x\sin ax+(\frac{2}{a^{3}}-\frac{x^{2}}{a})\cos ax$
- $\int x\cos ax dx=\frac{1}{a^{2}}\cos ax+\frac{x}{a}\sin ax$
- $\int x^{2}\cos ax dx=\frac{2}{a}x\cos ax+(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2}{a^{3}})\sin ax$
- 当$a\gt0$时，$\int\frac{1}{\sqrt{ax^{2}+c}}dx=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln(ax+\sqrt{ax^{2}+c})$;当$a\lt0$时，$\int\frac{1}{\sqrt{ax^{2}+c}}dx=\frac{x}{\sqrt{-a}}-\frac{1}{\sqrt{-a}}\sqrt{ax^{2}+c}+\arcsin(\frac{x}{\sqrt{-c/a}})$
- $\int_{0}^{\pi}\sin^{n}xdx=\begin{cases}\frac{(n - 1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2}(n = 正偶数)\\\frac{(n - 1)!!}{n!!}\pi(n = 正奇数)\end{cases}$
- $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin ax}{x}dx=\begin{cases}\frac{\pi}{2}(a\gt0)\\-\frac{\pi}{2}(a\lt0)\end{cases}$
- 当$n = 正整数,a\gt0$时，$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}x^{n}dx=\frac{n!}{a^{n + 1}}$
- $\int_{0}^{\infty}e^{-ax}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2a}$
- 当$n = 正整数,a\gt0$时，$\int_{0}^{\infty}x^{2n}e^{-ax}dx=\frac{(2n - 1)!!\sqrt{\pi}}{2^{n + 1}a^{2n + 1}}$
- $\int_{0}^{\infty}x^{2n + 1}e^{-ax}dx=\frac{n!}{2a^{n + 1}}$
- 当$a\gt0$时，$\int_{0}^{\infty}xe^{-ax}\sin bxdx=\frac{2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}$
- 当$a\gt0$时，$\int_{0}^{\infty}xe^{-ax}\cos bxdx=\frac{a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}$
2. **量子化条件相关公式**：
- 对于谐振子（设谐振子势能$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$），利用Wilson - Sommerfeld量子化条件$\int pdq = nh$（令$p = m\dot{x}$为振子动量，$q = x$为振子坐标，设总能量$E=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$），可得能量$E = n\hbar\omega$（推导过程涉及相关积分和能量关系的转化）。
- 对于限制在箱内运动的粒子（箱的长宽高分别为$a,b,c$），有三个独立量子化条件，设粒子与器壁作弹性碰撞，总能量$E=\frac{h^{2}}{8m}(\frac{n_{x}^{2}}{a^{2}}+\frac{n_{y}^{2}}{b^{2}}+\frac{n_{z}^{2}}{c^{2}})$（其中$n_{x},n_{y},n_{z}=1,2,3\cdots$）。
- 对于平面转子（转动惯量为$I$），利用量子化条件，能量量子化公式为$E=\frac{n^{2}\hbar^{2}}{2I}$（$n = 1,2,3\cdots$）。
- 对于在平面内运动且垂直于平面方向磁场是$B$的带电荷$e$质量$m$的粒子，利用量子化条件等相关物理关系可求出能量允许值（涉及洛伦兹力与向心力平衡条件等相关公式推导）。
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