Write out all possible equivalent standard forms of a 3×4 matrix

Write out all possible equivalent standard forms of a 3×4 matrix

Answer 1

以下是3×4矩阵的所有可能等价标准形:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16 \\
\end{bmatrix}
$$

其中每个元素对应一个等价标准形从下往上排列。

- $e_1 = \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}$
- $e_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}$
- $e_3 = \begin{bmatrix}0\\0\\1\\1\end{bmatrix}$
- $e_4 = \begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$

这些元素都满足 $e^T A e = e$其中 $A$ 是 $3 \times 3$ 的矩阵即:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
10 & 11 & 12 \\
\end{bmatrix}
$$

因此这些元素都是等价标准形的根。